Question

已知?jiǎng)又本�l與橢圓C：交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均為定值；
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|·|PQ|的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在三點(diǎn)D，E，G，使得？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則，
由在橢圓上，則，
而，則，
于是，；
當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y=kx+m，
代入可得，
即，△＞0，
即，
，
，
，
，
則，滿足△＞0，
，
；
綜上可知，。
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（Ⅰ）知，
，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；
綜上可知的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)橢圓上存在三點(diǎn)D，E，G，使得，
由（Ⅰ）知，
，
解得，，
因此只能從中選取，只能從±1中選取，
因此D，E，G只能從中選取三個(gè)不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線必有一個(gè)過原點(diǎn)，這與相矛盾，
故橢圓上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得。