Question

設(shè)等差數(shù)列{ }的前n項和為Sn，且S4=4S2，．

（1）求數(shù)列{}的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列{ }滿足，求{}的前n項和Tn；

（3）是否存在實數(shù)K，使得Tn恒成立.若有，求出K的最大值，若沒有，說明理由.

 

Answer 1

（1）an=2n﹣1，n∈N*；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由于{an}是等差數(shù)列，故只需求出其首項a1和公差d即可得其通項公式.由S4=4S2，a2n=2an+1得方程組：，這個方程組中，看起來有3個未知數(shù)，但n抵消了(如果n不能抵消，則左右兩邊對應(yīng)系數(shù)相等)，故實質(zhì)上只有兩個未知數(shù).解這個方程組即可（也可以取n=2）.（2）首先求出{bn}的通項公式. 已知求，則.在本題中，由已知可得：當n≥2時，，顯然，n=1時符合．由（1）得，an=2n﹣1，n∈N*．從而，n∈N*．這個數(shù)列用錯位相消法便可求得其和．（3）Tn恒成立，則.為了求，需要研究的單調(diào)性，為了研究的單調(diào)性，需考查的符號.

試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，

解得a1=1，d=2．

∴an=2n﹣1，n∈N*．（2）由已知，得：

當n=1時，，

當n≥2時，，顯然，n=1時符合．

∴，n∈N*，由（1）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴，n∈N*．

又，∴，

兩式相減得：

所以．

（3），

所以單調(diào)遞增，

所以，

所以.

考點：1、等差數(shù)列與等比數(shù)列；2、數(shù)列的和；3、數(shù)列與不等式.