Question

已知橢圓C₁：

x2

16

+

y2

15

=1的左焦點為F，點P為橢圓上一動點，過點P向以F為圓心，1為半徑的圓作切線PM、PN，其中切點為M、N，則四邊形PMFN面積的最大值為（　�。�

• A、2

  6

• B、

  14

• C、

  15

• D、5

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由切線的性質(zhì)可得S_{四邊形PMFN}=2×

1

2

|FM|•|PM|=|PM|．因此要使四邊形PMFN面積取得最大值，|PM|必須取得最大值，因此|PF|必須取得最大值，當(dāng)P點為橢圓的右頂點時，|PF|取得最大值a+c．

解答： 解：如圖所示，
由橢圓C₁：

x2

16

+

y2

15

=1可得a=4，c=

a2-b2

=1，
∴F（-1，0）．
由切線PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．
S_{四邊形PMFN}=2×

1

2

|FM|•|PM|=|PM|．
因此要使四邊形PMFN面積取得最大值，
則|PM|必須取得最大值，因此|PF|必須取得最大值，
當(dāng)P點為橢圓的右頂點時，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．
∴邊形PMFN面積最大值為5．
故選：D．

點評：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．