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證明f(x)=sinx，x∈R的最小正周期是2π.

證明：(1)f(x+2π)=sin(x+2π)=sinx=f(x).

(2)假設(shè)存在0＜T＜2π使f(x+T)=f(x),

即sin(x+T)=sinx，x∈R.

令x=0，則sinT=0.又0＜T＜2π，則T=π.

令x=，sin(+T)=sin,

即sin=sin，此為矛盾.

由(1)(2)兩步可知2π為f(x)=sinx的最小正周期.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
)，給出下列三個論斷：
①f（x）的圖象關(guān)于直線x=-
π
6
對稱；
②f（x）的周期為π；
③f（x）的圖象關(guān)于點(
π
12
，0)對稱．
以其中的兩個論斷為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題，并對該命題加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若對任意的a∈R，函數(shù)y=f（x），x∈（a，a+π]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點，試確定ω的值（不必證明），并求函數(shù)y=f（x），x∈R的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考常見試題易錯點點睛系列——三角函數(shù)（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=

(Ⅰ)求φ；

(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單增區(qū)間；

(Ⅲ)證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖像不相切.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：遼寧 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若對任意的a∈R，函數(shù)y=f（x），x∈（a，a+π]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點，試確定ω的值（不必證明），并求函數(shù)y=f（x），x∈R的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明f(x)=sin不是周期函數(shù).

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