Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+x，x∈R，若0＜θ＜$\frac{π}{2}$時，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立．則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)f（x）=x³+x單調(diào)遞增的性質(zhì)，可將不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為msinθ＞m-1恒成立，由0＜θ＜$\frac{π}{2}$可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=x³+x為奇函數(shù)；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函數(shù)f（x）=x³+x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立?f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
∴msinθ＞m-1（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）恒成立?m（1-sinθ）＜1恒成立，
由0＜θ＜$\frac{π}{2}$知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，$\frac{1}{1-sinθ}$＞1
由m＜$\frac{1}{1-sinθ}$恒成立知：m≤1．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，突出考查轉(zhuǎn)化思想與恒成立問題，屬于中檔題．