Question

9．若函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x．y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-2；
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)：
（2）求證：f（x）是R上的減函數(shù)：
（3）求f（x）在[-3，4]上的最大值和最小值：
（4）解不等f（x-4）+f（2-x²）≤16．

Answer 1

分析 （1）先令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x得f（-x）=-f（x）；
（2）直接運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義和作差法證明；
（3）運(yùn)用單調(diào)性求函數(shù)的最值；
（4）應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式．

解答 解：（1）因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），所以，f（0）=0，
再令y=-x得，f（0）=f（x）+f（-x），所以，f（-x）=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+（x₂）]-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）
因?yàn)閤₁-x₂＞0，所以f（x₁-x₂）＜0，
因此，f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
所以，f（x）_min=f（4），f（x）_max=f（-3），
又因?yàn)閒（1）=-2，所以f（4）=f（2）+f（2）=4f（1）=-8，
f（-3）=-f（3）=-[f（1）+f（1）+f（1）]=6，
所以，函數(shù)在[-3，4]上的最大值為6，最小值為-8；
（4）因?yàn)閒（8）=f（4）+f（4）=-16，所以，f（-8）=16，
所以，原不等式可化為：f[（x-4）+（2-x²）]≤f（-8），
即，（x-4）+（2-x²）≥-8，
即x²-x-6≤0，解得x∈[-2，3]，
即該不等式的解集為：[-2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷和證明，以及應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定函數(shù)的值域和解不等式，屬于中檔題．