Question

5．在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（1）已知數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)和為23，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若${T_n}=\frac{1}{9}-\frac{1}{n+9}$，求數(shù)列{a_n}的公差．

Answer 1

分析 首先由題意求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差的關(guān)系．
（1）由等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23列式求得首項(xiàng)和公差，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）把${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$裂項(xiàng)，求其前n項(xiàng)和，由${T_n}=\frac{1}{9}-\frac{1}{n+9}$即可求得公差d的值．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列可得，${{a}_{4}}^{8}={a}_{1}{a}_{8}$，
即$（{a}_{1}+3d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+7d）$，
∴${{a}_{1}}^{2}+6{a}_{1}d+9lue0ite^{2}={{a}_{1}}^{2}+7{a}_{1}d$，而d≠0，∴a₁=9d．
（1）由數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)和為23，得${S}_{6}=6{a}_{1}+\frac{6×5d}{2}=23$，
即6a₁+15d=23，∴54d+15d=23，故d=$\frac{1}{3}$，a₁=3，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a}_{n}=3+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{1}{3}（n+8）$；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}gedpm4n（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}x44hmxe[（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）+…+（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）]$
=$\frac{1}99ccusu（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）=\frac{1}iux0mtt（\frac{1}{9d}-\frac{1}{9d+nd}）$=$\frac{1}{dpdtqf4^{2}}（\frac{1}{9}-\frac{1}{n+9}）$．
∴$\frac{1}{f54aiee^{2}}=1$，解得d=±1．
∴數(shù)列{a_n}的公差d=1或d=-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．