Question

設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是        .

Answer 1

分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則及函數(shù)的性質(zhì).利用f(x)g(x)構(gòu)造一個新函數(shù)φ(x)=f(x)g(x),利用φ(x)的性質(zhì)解決問題.

解：設(shè)φ(x)=f(x)g(x),則φ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.

∴φ(x)在(-∞,0)上是增函數(shù)且φ(-3)=0.

又∵f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),

∴φ(x)=f(x)g(x)為奇函數(shù).

∴φ(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù)且φ(3)=0.

當(dāng)x<-3時,φ(x)<φ(-3)=0,即f(x)g(x)<0;

當(dāng)-3<x<0時,φ(x)>φ(-3)=0,即f(x)g(x)>0.

同理,當(dāng)0<x<3時,f(x)g(x)<0;

當(dāng)x>3時,f(x)g(x)>0.

∴f(x)g(x)<0的解集為(-∞,-3)∪(0,3).

答案：(-∞,-3)∪(0,3).