Question

已知空間四面體O-ABC，點P滿足

OP

=

1

6

OA

+

1

3

OB

+

1

2

OC

，記四面體O-ABP、O-BCP、O-ACP的體積依次為V₁，V₂，V₃，則V₁：V₂：V₃=

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：點P滿足

OP

=

1

6

OA

+

1

3

OB

+

1

2

OC

，可得P，A，B，C四點共面，

PA

+2

PB

+3

PC

=

0

，進而確定P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

．從而，S₃ =

1

3

S．∴S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S，從而求得S₁：S₂：S₃ 的值，即可求出V₁：V₂：V₃．

解答： 解：記△ABP、△BCP、△ACP的面積依次為S₁、S₂、S₃．
∵點P滿足

OP

=

1

6

OA

+

1

3

OB

+

1

2

OC

，
∴P，A，B，C四點共面，

PA

+2

PB

+3

PC

=

0

設(shè)D、E 分別為BC、AC的中點，∴

PA

-

PB

=-3（

PB

+

PC

），
∴

BA

=-3×2

PD

=-6

PD

，
同理由（

PA

+

PC

）=-2（

PB

+

PC

），即2

PE

=-2×

PD

，
∴

PE

=-

1

3

BA

．∴P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，
設(shè)△ABC的面積為S，則S₂ =

1

6

S．
 P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

，
∴S₃ =

1

3

S．∴S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S．
∴S₁：S₂：S₃ =3：1：2，
∴V₁：V₂：V₃=3：1：2．
故答案為：3：1：2．

點評：本題考查共線向量的意義，兩個同底的三角形的面積之比等于底上的高之比，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．