Question

16．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為135°，則E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\root{4}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)△ABM是頂角為135°的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，進而求出點M的坐標(biāo)，再將點M代入雙曲線方程即可求出離心率．

解答 解：不妨取點M在第一象限，如右圖：
設(shè)雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
∵△ABM是頂角為135°的等腰三角形，
∴|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，
∴點M的坐標(biāo)為（（$\sqrt{2}$+1）a，$\sqrt{2}$a），
又∵點M在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上，
∴將M坐標(biāo)代入坐標(biāo)得$\frac{（\sqrt{2}+1）^2a^2}{a^2}$-$\frac{2a^2}{b^2}$=1，
整理上式得，a²=（1+$\sqrt{2}$）b²，而c²=a²+b²=（2+$\sqrt{2}$）b²，
∴e²=$\frac{c^2}{a^2}$=$\sqrt{2}$，因此e=$\root{4}{2}$，
故選D．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，靈活運用幾何關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．