Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P為DD₁的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，求證：B₁O⊥平面PAC.

Answer 1

證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨假定正方體每邊長為2，則A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0),B₁(2,2,2),O(1,1,0).

于是=(1,1,2),=(-2,2,0),=(-2,0,1),由于=-2+2=0及=-2+2=0.

∴OB₁⊥AC,OB₁⊥AP.

又AC∩AP=A,∴OB₁⊥平面PAC.

綠色通道：

立體幾何中的向量方法——“三步曲”:

(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(2)通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.

(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.