Question

3．已知函數(shù)f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞x³e^x．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）分別求出函數(shù)f（x）的取值范圍和g（x）=x³e^x的范圍，進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=）=2e^x-$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=2e^x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則f′（1）=2e-1，f（1）=2e，
則函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-2e=（2e-1）（x-1），即y=（2e-1）x+1；
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，2e^x∈（2，2e），$\frac{lnx}{x}$＜0，則-$\frac{lnx}{x}$＞0，
則f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$＞2，
設(shè)g（x）=x³e^x．
則g′（x）=3x²e^x+x³e^x=x²e^x（3+x），
當(dāng)x∈（0，1），則g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
則0＜g（x）＜e，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞x³e^x．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．