Question

（08年安徽信息交流）（本小題滿分14分）已知兩定點(diǎn)A（，0），B（3，0），動(dòng)圓M與直線AB相切于點(diǎn)N．且=4，現(xiàn)分別過點(diǎn)A、B作動(dòng)圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點(diǎn)P．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）若直線截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得的弦長為5，求m的值；

（3）設(shè)過軌跡上的點(diǎn)P的直線與兩直線，分別交于點(diǎn)，，且點(diǎn)分有向線段所成的比為（＞0），當(dāng)∈時(shí)，求的最小值與最大值。

Answer 1

解析:（1）由題設(shè)及平面幾何知識(shí)得：＜,

∵動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為交點(diǎn)的雙曲線右支，

由

故所求P點(diǎn)的軌跡方程為：  （4分）

（2）易知 直線恒過雙曲線焦點(diǎn)B（3，0）

設(shè)該直線與雙曲線右支相交于

由雙曲線第二定義知，

又∴，則，

由得，從而易知，僅當(dāng)時(shí)，滿足

故所求  （8分）

（3）設(shè)，且p分有向線段所成的比為，

則，，

又點(diǎn)在雙曲線上，∴

化簡得：

又 

∴                               （11分）

令

∵在上單減，在上單增，

又，∴在上單減，在上單增，∴

又 ，∴

故所求的最小值為9，最大值為。   （14分）