Question

6．已知f（x）=ln（ae^x-x-3）定義域為R，求a的范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的定義域為R，得出ae^x-x-3＞0在x∈R時恒成立，利用分離常數(shù)法，得出a＞$\frac{x+3}{{e}^{x}}$；求出g（x）=$\frac{x+3}{{e}^{x}}$的最大值即可．

解答 解：∵f（x）=ln（ae^x-x-3）定義域為R，
∴ae^x-x-3＞0在x∈R時恒成立，
即ae^x＞x+3，
∴a＞$\frac{x+3}{{e}^{x}}$；
設(shè)g（x）=$\frac{x+3}{{e}^{x}}$，x∈R，
則g′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+3{）e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{-（x+2）}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x＜-2時，g′（x）＞0，g（x）是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)x＞-2時，g′（x）＜0，g（x）是單調(diào)減函數(shù)，
∴x=-2時，g′（x）=0，g（x）取得最大值g（-2）=$\frac{-2+3}{{e}^{-2}}$=e²；
∴a的取值范圍是（e²，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與求最值的問題，也考查了分類常數(shù)法以及不等式恒成立的應(yīng)用問題，是綜合性題目．