Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離等于，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)重合，則拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)和距離之和的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：由雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離求出，從而可確定雙曲線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義將點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，最后結(jié)合圖形根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”求解．

詳解：由雙曲線(xiàn)方程可得，

雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程為，即．

∵雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離等于，

∴，解得，

∴雙曲線(xiàn)的方程為，

∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為．

又拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)重合，

∴，

∴拋物線(xiàn)的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．如圖，

設(shè)點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離為，到直線(xiàn)的距離為，則，

∴．

結(jié)合圖形可得當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，且最小值為點(diǎn)F到直線(xiàn)的距離．

故選B．