Question

設(shè)f(x)＝3ax²＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)·f(1)＞0，求證：

(Ⅰ)方程f(x)＝0有實(shí)根；

(Ⅱ)－2＜＜－1；

(Ⅲ)設(shè)x₁，x₂是方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根，則≤|x₁－x₂|＜．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(Ⅰ)若a＝0，則b＝－c，f(0)f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，與已知矛盾， 　　∴a≠0． 　　方程3ax2＋2bx＋c＝0的判別式Δ＝4(b2－3ac)， 　　由條件a＋b＋c＝0，消去b，得： 　　Δ＝4(a2＋c2－ac)＝4[(a－c)2＋c2]＞0． 　　故方程f(x)＝0有實(shí)根． 　　(Ⅱ)由f(0)f(1)＞0，得：c(3a＋2b＋c)＞0， 　　由條件(a＋b)(2a＋b)＜0，∵a2＞0， 　　∴(1＋)(2＋)＜0，故－2＜＜－1． 　　(Ⅲ)由條件，知：x1＋x2＝，x1x2＝＝， 　　∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(＋)2＋． 　　∵－2＜＜－1，∴≤(x1－x2)2＜， 　　故≤|x1－x2|＜．

提示：

本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)與解法，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力．