Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，已知a₁=1，a_n+1=（n=1，2，3，…），求證：

    （1）數(shù)列{}是等比數(shù)列；

    （2）S_n+1=4a_n.

   

Answer 1

證明：（1）a_n+1=S_n+1-S_n，a_n+1=，   

 

 ∴(n+2)S_n=n(S_n+1-S_n).

 

    整理得nS_n+1=2(n+1)S_n，

    ∴=2.

    故{}是以2為公比的等比數(shù)列.

    （2）由（1）知=4 (n≥2)，

    于是S_n+1=4(n+1)=4a_n(n≥2).

    又a₂=3S₁=3，故S₁=a₁+a₂=4，因此對(duì)于任意整數(shù)n≥1，都有S_n+1=4a_n.

    評(píng)注：本題求證的結(jié)論含有S_n，一般先用公式a_n+1=S_n+1-S_n把題中所給的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為含S_n的遞推關(guān)系式，這是本題的一個(gè)靈活之處，考查了同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，而第二問(wèn)又考查了分析問(wèn)題和邏輯推理的能力.