Question

3．對a＞0且a≠1的所有正實數(shù)，函數(shù)y=log_a（2x-3）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圖象恒過定點P，P在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（9）=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得定點P坐標(biāo)（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），進而根據(jù)P在冪函數(shù)f（x）的圖象上，可得冪函數(shù)f（x）的解析式，將x=9代入可得答案．

解答 解：令2x-3=1，則x=2，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$恒成立，
故函數(shù)y=log_a（2x-3）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圖象恒過定點P（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
若P在冪函數(shù)f（x）=x^a的圖象上，
∴2^a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=-$\frac{1}{2}$，即f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$，
∴f（9）=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．