Question

4．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和初相；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在區(qū)間（0，$\frac{5}{12}$π]上總有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性、初相，得出結(jié)論．
（2）由題意f（x）=log₂k∈[-$\frac{1}{2}$，1]，關(guān)于x的方程f（x）=log₂k 在區(qū)間（0，$\frac{5}{12}$π]上總有實數(shù)解，求得k的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為 $\frac{2π}{2}$=π，初相$\frac{π}{3}$．
（2）∵x∈（0，$\frac{5}{12}$π]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
根據(jù)f（x）=log₂k∈[-$\frac{1}{2}$，1]，關(guān)于x的方程f（x）=log₂k 在區(qū)間（0，$\frac{5}{12}$π]上總有實數(shù)解，
故-1≤log₂k≤$\frac{1}{2}$，求得$\frac{1}{2}$≤k≤$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、初相，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．