Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（1）若直線x+y+1=0與橢圓相交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求此橢圓方程．
（2）若另一直線與橢圓C相交于A、B兩點，且線段AB恰好為圓（x-2）²+（y-1）²=$\frac{20}{3}$的直徑，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）先設出橢圓的標準方程，根據離心率的范圍求得a和c的關系，進而表示出b和a的關系，代入橢圓方程，根據OP⊥OQ判斷出x₁x₂+y₁y₂=0，直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，進而根據表示出x₁x₂和y₁y₂，根據x₁x₂+y₁y₂=0求得b的值．進而橢圓的方程可得．
（2）求出直線AB的方程，代入x²+2y²=2b²得3x²-12x+18-2b²=0，利用|AB|=$\sqrt{2}$|x₃-x₄|=2•$\sqrt{\frac{20}{3}}$，即16-4•$\frac{18-2^{2}}{3}$=$\frac{40}{3}$，解得b²=8，即可求橢圓方程．

解答 解：（1）由離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$得a=$\sqrt{2}$b
設橢圓方程為x²+2y²=2b²，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由橢圓與直線x+y+1=0聯(lián)立可得3x²+4x+2-2b²=0，∴x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{2-2^{2}}{3}$，
∴y₁y₂=（-x₁-1）（-x₂-1）=$\frac{2-2^{2}}{3}$-$\frac{4}{3}$+1=$\frac{1-2^{2}}{3}$
由于橢圓與直線x+y+1=0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標原點），
則x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2-2^{2}}{3}$+$\frac{1-2^{2}}{3}$=0  
∴b²=$\frac{3}{4}$，a²=$\frac{3}{2}$
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}$=1；
（2）令A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由已知得圓心C₁（2，1）為AB中點，
∴x₃+x₄=4，y₃+y₄=2，
又A，B均在橢圓C₂上，兩式相減得k_AB=-1，
即直線AB的方程為y-1=-（x-2）即x+y-3=0
將y=-x+3代入x²+2y²=2b²得3x²-12x+18-2b²=0
∴x₃+x₄=4，x₃x₄=$\frac{18-2^{2}}{3}$，
由直線AB與橢圓C₂相交，
∴△=12²-12（18-2b²）=24b²-72＞0即b²＞3，
又|AB|=$\sqrt{2}$|x₃-x₄|=2•$\sqrt{\frac{20}{3}}$即16-4•$\frac{18-2^{2}}{3}$=$\frac{40}{3}$，
解得b²=8，故所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質．直線與圓錐曲線的關系，以考查了基本知識的識記和基本的運算能力，屬于中檔題．