Question

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點(diǎn)，M是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線MA交直線于G點(diǎn)，直線MB交直線于H點(diǎn)。

                        （1）求橢圓C的方程；

    （2）試探求以GH為直徑的圓是否恒經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由題意得

.

橢圓的方程為：

（Ⅱ）記直線、的斜率分別為、，設(shè)的坐標(biāo)分別為,,，.

在橢圓上，所以，，

設(shè)，則，.

，又.

.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602403676157291/SYS201205260242170584451806_DA.files/image027.png">的中點(diǎn)為，,所以，以為直徑的圓的方程為：.

令，得，

，將兩點(diǎn)代入檢驗(yàn)恒成立.

所以，以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn)

【解析】略