Question

6．如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測(cè)量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，擬過(guò)線段BC上一點(diǎn)E設(shè)計(jì)一條直路EF（點(diǎn)F在四邊形ABCD的邊上，不計(jì)路的寬度），將綠地分為面積之比為1：3的左右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè)EC=x百米，EF=y百米．
（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置；
（2）試求x的值，使路EF的長(zhǎng)度y最短．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，${S_{△CDE}}=\frac{1}{4}{S_{平行四邊形ABCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，即${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}CE•CD•sin{120°}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}x=\frac{{\sqrt{3}}}{4}⇒x=1$，從而確定點(diǎn)E的位置；
（2）分類討論，確定y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最值．

解答 解：（1）∵${S_{平行四邊形ABCD}}=2×\frac{1}{2}×1×2sin{120°}=\sqrt{3}$
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，由已知${S_{△CDE}}=\frac{1}{4}{S_{平行四邊形ABCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
又∵${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}CE•CD•sin{120°}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}x=\frac{{\sqrt{3}}}{4}⇒x=1$，E是BC的中點(diǎn)
（2）①當(dāng)點(diǎn)F在CD上，即1≤x≤2時(shí)，利用面積關(guān)系可得$CF=\frac{1}{x}$，
再由余弦定理可得$y=\sqrt{{x^2}+\frac{1}{x^2}+1}≥\sqrt{3}$；當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)
②當(dāng)點(diǎn)F在DA上時(shí)，即0≤x＜1時(shí)，利用面積關(guān)系可得DF=1-x，
（�。┊�(dāng)CE＜DF時(shí)，過(guò)E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=1-2x，∠EGF=60°，
利用余弦定理得$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$
（ⅱ）同理當(dāng)CE≥DF，過(guò)E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=2x-1，∠EGF=120°，
利用余弦定理得$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$
由（ⅰ）、（ⅱ）可得$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$，0≤x＜1
∴$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$=$\sqrt{4（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵0≤x＜1，∴${y_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)取等號(hào)，
由①②可知當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，路EF的長(zhǎng)度最短為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．