Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．   
（1）當(dāng)a=1，不等式f（x）＞m恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若對任意x₁∈R，都有x₂∈R使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，求出F（x）的最小值4，再由不等式恒成立的思想，即可得到m＜4；
（2）分別求得f（x）、g（x）的值域，再由值域的包含關(guān)系，得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|2x-1|+|2x+3|=2（|x-

1

2

|+|x+

3

2

|），
由于|x-

1

2

|+|x+

3

2

|≥|（x-

1

2

）-（x+

3

2

）|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)-

3

2

≤x≤

1

2

時，取得等號，
則f（x）的最小值為4．
不等式f（x）＞m恒成立，即為m＜4；
（2）函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥2|（x-

a

2

）-（x+

3

2

）|=|a+3|，
即有f（x）的值域為[|a+3|，+∞），
g（x）=|x-1|+2≥2，
則g（x）的值域為[2，+∞）．
若對任意x₁∈R，都有x₂∈R使f（x₁）=g（x₂）成立，
則[|a+3|，+∞）⊆[2，+∞），
即有|a+3|≥2，解得，a≥-1或a≤-5．
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]∪[-1，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法和性質(zhì)，考查不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．