Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點為（0，-1），離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過M（0，m）（-1＜m＜0）的直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在橢圓C上是否存在定點T，使得無論直線L如何轉動，以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出m的值及點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）討論直線l的斜率不存在，設出直線l的方程，求得圓的方程，求得定點T，討論直線l的斜率存在，設出直線方程，聯立橢圓方程，運用韋達定理和圓的性質，結合向量垂直的條件，即可得到存在定點T．

解答 解：（1）由題意，b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，b=1，c=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）①當直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為：x²+y²=1
②當直線l的斜率為0時，直線l的方程為y=m，
此時以AB為直徑的圓的方程為：x²+（y-m）²=2（1-m）²，與x²+y²=1聯立，得y=$\frac{3{m}^{2}-1}{2m}$，
∵（x，$\frac{3{m}^{2}-1}{2m}$）在橢圓上，
∴$\frac{3{m}^{2}-1}{2m}$=1，
∵-1＜m＜0，∴m=-$\frac{1}{3}$，
∴m=-$\frac{1}{3}$，在橢圓上可能存在定點T（0，1）滿足條件；
③斜率存在時，設直線l的方程為：y=kx-$\frac{1}{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與橢圓方程聯立，可得（1+2k²）x²-$\frac{4}{3}$kx-$\frac{16}{9}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4k}{3（1+2{k}^{2}）}$，x₁x₂=-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$，
$\overrightarrow{TA}•\overrightarrow{TB}$=（k²+1）x₁x₂-$\frac{4}{3}$k（x₁+x₂）+$\frac{16}{9}$=（k²+1）（-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$）-$\frac{4}{3}$k•$\frac{4k}{3（1+2{k}^{2}）}$+$\frac{16}{9}$=0，
∴過M（0，-$\frac{1}{3}$）的直線l斜率存在時，以AB為直徑的圓過定點T（0，1），
綜上所述，m=-$\frac{1}{3}$時，過M（0，-$\frac{1}{3}$）的直線無論如何轉動，以AB為直徑的圓過定點T（0，1）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓方程的運用，聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，同時考查直線和圓的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．