Question

19．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，已知過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）的直線交函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²的圖象于A、B兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值為（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，直線方程和函數(shù)$y=\frac{1}{2}{x}^{2}$聯(lián)立消去y會(huì)得到關(guān)于x的方程，用求根公式求出該方程的解，從而得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）直線的斜率為k，則方程為：$y=kx+\frac{1}{2}$；
如圖，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得：x²-2kx-1=0；
解得$x=k-\sqrt{{k}^{2}+1}$，或$k+\sqrt{{k}^{2}+1}$；
∴$A（k-\sqrt{{k}^{2}+1}，{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）$，B（$k+\sqrt{{k}^{2}+1}，{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-1+（{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）（{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）$=$-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查通過解直線和曲線方程形成的方程組來求出直線和曲線交點(diǎn)的方法，一元二次方程的求根公式，向量坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．