Question

拋物線y²=2px(p＞0)的焦點為F，定點Q(4，0)，過F與x軸不垂直的直線交拋物線于A、B兩點，AB中點為N，若·=0，A、B兩點到準(zhǔn)線的距離之和為6．

(Ⅰ)求拋物線的方程；

(Ⅱ)設(shè)T為拋物線準(zhǔn)線上任一點，O為坐標(biāo)原點．求證：TA、TF、TB的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則N到準(zhǔn)線的距離為

(|AA′|+|BB′|)=[(x₁+)+(x₂+)]

=[(x₁+x₂)+p]=3①

由得,而N(),

則K_NQ=.

∵=0,∴=-1，

∴(x₁+x2)-8=2p，②

由①②得p=2，∴拋物線的方程為y²=4x．

(Ⅱ)設(shè)T(-1，t)，TA、TF、TB斜率分別為k₁、k₂、k₃，直線AB：x=my+1，

由得y²-4my-4=0，∴y₁y₂=-4，

∴k₁+k₃=

=

=-t,

又∵k₂= ，∴k₁+k₃=2k₂,

∴k₁、k₂、k₃成等差數(shù)列．