Question

4．已知圓N：（x+2）²+y²=8和拋物線C：y²=2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B．
（1）當切線l的斜率為1時．求線段AB的長；
（2）設點M（0，-2），當切線l的斜率為-1時，求證：MA⊥MB．

Answer 1

分析 （1）圓N的圓心N為（-2，0），半徑r=2$\sqrt{2}$，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l的方程，利用直線l是圓N的切線，求得m的值，從而可得直線l的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，即可計算弦長|AB|；
（2）先求出直線l的方程，再代入拋物線方程，消去x得y²+2y-4=0．證明$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0即可．

解答 解：因為圓N：（x+2）²+y²=8，所以圓心N為（-2，0），半徑r=2$\sqrt{2}$，…（1分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）當直線l的斜率為1時，設l的方程為y=x+m即x-y+m=0
因為直線l是圓N的切線，所以$\frac{|-2+m|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得m=-2或m=6（舍），此時直線l的方程為y=x-2，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，…（4分）
所以弦長|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{10}$…（6分）
（2）當直線l的斜率為-1時，設l的方程為y=-x+b即x+y-b=0
因為直線l是圓N的切線，所以$\frac{|-2-b|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得b=2或b=-6（舍），此時直線l的方程為y=-x+2
代入拋物線方程，消去x得y²+2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=-2，y₁y₂=-4，…（9分）
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁，y₁+2）•（x₂，y₂+2）=2y₁y₂+8=0，
所以MA⊥MB．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是聯立方程，正確運用韋達定理．