Question

已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和

z

2-i

均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位． 
①求復(fù)數(shù)z； 
②若復(fù)數(shù)（z+c）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出．

解答： 解：①設(shè)z=a+bi（a，b∈R），
∴z+2i=a+（b+2）i，

z

2-i

=

(a+bi)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2a-b+(a+2b)i

5

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i．
∵z+2i和

z

2-i

均為實(shí)數(shù)，
∴b+2=0，

a+2b

5

=0．
解得b=-2，a=4． 
∴z=4-2i．
②∵復(fù)數(shù)（z+c）²=（4-2i+c）²=（4+c）²-4-4（4+c）i=12+8c+c²-（16+4c）i
在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
∴

12+8c+c2＞0 -(16+4c)＞0

，
解得c＜-6．
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為（-∞，-6）．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義，屬于中檔題．