Question

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知AB⊥BC，OA//BC,  AB=BC=2AO=4,曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積．

Answer 1

解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，依題意可設(shè)拋物線的方程為

  ．且C(2，4)，

∴2²＝24 ，∴

  故曲線段OC的方程為(0≤≤2)

  設(shè)P()(0≤<2)是曲線段OC上的任一點(diǎn)，

則PQ＝2＋，PN=4-

∴工業(yè)區(qū)面積S＝PQ?PN＝

∴S’＝-，令S’＝O，得：

∵∴

當(dāng)∈[)時(shí)，S’>0，S是的增函數(shù)；

當(dāng)∈()時(shí)，S’<0，S是的減函數(shù)．

∴時(shí)，S取到最大值，此時(shí)PQ=，PN==,

S=．

答：把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長(zhǎng)為，寬為的矩形時(shí)工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積是