Question

7．已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx（x∈R）的一條對稱軸是x=-$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，f（$β+\frac{3π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，求sin（α+β）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得a的值，從而求得函數(shù)的增區(qū)間．
（Ⅱ）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，求得結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx+acosx=$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+θ），其中，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$，sinθ=$\frac{a}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$，
它的圖象的一條對稱軸是x=-$\frac{π}{4}$，
∴θ-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 θ=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，∴θ=-$\frac{π}{4}$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
∴a=-1，f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，
可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
且f（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，f（$β+\frac{3π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sqrt{2}$sinα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且 $\sqrt{2}$sin（β+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cosβ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即 sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的對稱性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．