Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若點(diǎn)${A_n}（{n，\frac{S_n}{n}}）$在函數(shù)f（x）=-x+c的圖象上運(yùn)動(dòng)，其中c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，且a₁=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記${b_n}={a_{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）將A_n代入直線(xiàn)方程，則S_n=-n²+cn，由a₁=3，即可求得c的值，由a_n=S_n-S_n-1，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）即可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得T_n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值．

解答 解：（1）點(diǎn)${A_n}（{n，\frac{S_n}{n}}）$在函數(shù)f（x）=-x+c的圖象上運(yùn)動(dòng)，則$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，
則S_n=-n²+cn，
由a₁=3，則a₁=-1+c，c=4，
∴S_n=-n²+4n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+4n）-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5，
當(dāng)n=1時(shí)，滿(mǎn)足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-2n+5；
（2）${b_n}={a_{a_n}}$=-2a_n+5=-2（-2n+5）+5=4n-5，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（_{1}+_{n}）}{2}$=2n²-3n，
則當(dāng)n=1時(shí)，T_n取最小值，最小值為T(mén)₁=-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查數(shù)列的最值，等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．