Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=4a_n+1-4a_n，a₁=2，a₂=12．

(Ⅰ)求證：數(shù)列{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)令b_n=，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；

(Ⅲ)設(shè)c_n=，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

(Ⅰ)證明：由a_n+2=4a_n+1-4a_n有

a_n+2-2a_n+1=2(a_n+1-2a_n).

∵a₂-2a₁=12-2×2=8≠0，

∴數(shù)列{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列．

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)，a_n+1-2a_n=8·2^n-1=4·2ⁿ．

∵b_n=，∴a_n=2ⁿb_n.∴2ⁿ⁺¹b_n+1-2·2ⁿb_n=4·2ⁿ．

∴b_n+1-b_n=2． ∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列.

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，有b_n= b₁+(n-1)·2．

又b₁==1，∴b_n=2n-1．∴an=2ⁿ·(2n-1)．

而c_n=，∴c_n=．

令S=c₁+c₂+…+c_n，

則S=，

．

兩式相減，有

.

∴S=．

即數(shù)列{c_n}的前n項和為．