Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．
(Ⅰ)證明：AE⊥平面PBC；
(Ⅱ)若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)證明：如圖，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB， 又PA=AB，故△PAB為等腰直角三角形， 而點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB， 由題意知BC⊥AB， 又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影， 由三垂線定理得BC⊥PB， 從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE， 因?yàn)锳E⊥PB，AE⊥BC， 所以AE⊥平面PBC． (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC， 得AD⊥平面 PAB，故AD⊥AE， 在Rt△PAB中，1， 從而在Rt△DAE中，， 在Rt△CBE中，， 又， 所以△CED為等邊三角形， 取CE的中點(diǎn)F，連接DF，則DF⊥CE， 因BE=BC=1，且BC⊥BE，則△EBC為等腰直角三角形， 連結(jié)BF，則BF⊥CE， 所以∠BFD為所求的二面角的平面角， 連接BD， 在△BFD中，， 所以，， 故二面角B-EC-D的平面角的余弦值為。