Question

19．已知拋物線C：y²=4x上一點P，若以P為圓心，|PO|為半徑作圓與拋物線的準(zhǔn)線l交于不同的兩點M、N，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為A，則$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范圍是
（　�。�

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （0，2$\sqrt{2}$）
• D． （2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），則圓P的方程為（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}+{{y}_{0}}^{2}$，設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{1}+{y}_{2}|}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2|{y}_{0}|}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），則圓P的方程為（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}+{{y}_{0}}^{2}$，
令x=-1，得${y}^{2}-2{y}_{0}y+1+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=0$，
設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{△=2{{y}_{0}}^{2}-4＞0}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1＞0}\end{array}\right.$，
∴${{y}_{0}}^{2}＞2$，y₁+y₂=2y₀，
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{1}+{y}_{2}|}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2|{y}_{0}|}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，
令t=|y₀|（t＞$\sqrt{2}$），則y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$∈（0，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查拋物線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，確定$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{1}+{y}_{2}|}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2|{y}_{0}|}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}+1}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$是關(guān)鍵．