Question

設(shè)函數(shù)，且，其中p≥0，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求p與q的關(guān)系；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍．
（3）設(shè)．若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，∵函數(shù)，且，∴（p-q）（）=0
∵≠0，∴p-q=0，∴p=q
（2）由（1）知，，求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=
當p=0時，f′（x）=-＜0，所以f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)
當p＞0時，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，由于h（x）=px²-2x+p圖象為開口向上的拋物線，所以只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足h（x）≥0恒成立
函數(shù)h（x）=px²-2x+p的對稱軸為，∴
∴只需，∵p＞0，∴p≥1
綜上所述，p的取值范圍為{0}∪[1，+∞）
（3）∵在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]
①當p=0時，由（2）知f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，∴f（x）_min=f（1）=0，不合題意；
②當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜2，
又在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），
∵f（x）_max=f（e）=p（e-）-2，g（x）_min=2，
∴p（e-）-2＞2，∴；
③當0＜p＜1時，由x∈[1，e]，≥0，
由（2）知當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，≤≤2，不合題意
綜上，實數(shù)p的取值范圍是．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)，且，可得（p-q）（）=0，從而可求p與q的關(guān)系；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，再進行分類討論：當p=0時，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)；當p＞0時，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足h（x）≥0恒成立，從而可求p的取值范圍；（3）確定在[1，e]上的最值，再分類討論：①當p=0時，f（x）_min=f（1）=0，不合題意；②當p≥1時，只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]）；③當0＜p＜1時，不合題意，從而可求實數(shù)p的取值范圍是．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強．