Question

18．（Ⅰ）證明：過圓x²+y²=r²上一點Q（x₀，x₀）的切線方程為x₀x+y₀y=r²；
（Ⅱ）已知橢圓C方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}$=1，從橢圓C上一點P向圓x²+y²=1上引兩條切線，切點為A，B．當(dāng)直線AB分別與y軸、x軸交于M，N兩點時，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數(shù)法，結(jié)合直線和圓相切的條件即可證明：過圓x²+y²=r²上一點Q（x₀，x₀）的切線方程為x₀x+y₀y=r²；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，求出過A，B的切線方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)切線的斜率k存在時，設(shè)切線方程為y-y₀=k（x-x₀）．
又因為$k=-\frac{x_0}{y_0}$，故切線方程為$y-{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}（x-{x_0}）$，
∴${x_0}x+{y_0}y={r^2}$．…（3分）
當(dāng)k不存在時，切點坐標(biāo)為（±r，0），切線方程為x=±r，符合${x_0}x+{y_0}y={r^2}$．
綜上，切線方程為${x_0}x+{y_0}y={r^2}$．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)點P坐標(biāo)為（x_p，y_p），PA，PB是圓x²+y²=1的切線，切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過點A的圓的切線為x₁x+y₁y=1，過點B的圓的切線為x₂x+y₂y=1．
∵兩切線都過P點，
∴x₁x_p+y₁y_p=1，x₂x_p+y₂y_p=1．…（8分）
∴切點弦AB的方程為x_px+y_py=1，
由題知x_Py_P≠0，
∴$M（0，\frac{1}{y_p}）$，$N（\frac{1}{x_p}，0）$，
∴${|{MN}|^2}=\frac{1}{x_p^2}+\frac{1}{y_p^2}=（{\frac{1}{x_p^2}+\frac{1}{y_p^2}}）•（{\frac{x_p^2}{16}+\frac{y_p^2}{4}}）$=$\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}•\frac{x_p^2}{y_p^2}+\frac{1}{4}•\frac{y_p^2}{x_p^2}≥\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{1}{64}•\frac{x_p^2}{y_p^2}•\frac{y_p^2}{x_p^2}}=\frac{9}{16}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x_P^2=\frac{16}{3}$，$y_P^2=\frac{8}{3}$時取等號，
∴|MN|≥$\frac{3}{4}$，
即|MN|的最小值為$\frac{3}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系是應(yīng)用，涉及直線和圓相切的問題，綜合性較強(qiáng)，運算量較大，有一定的難度．