Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x³-6x+5,x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）已知當(dāng)x∈(1,+∞)時，f(x)≥k(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值；（2）由（1）的結(jié)論，問題轉(zhuǎn)化為y=f(x)和y=a的圖象有3個不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解；（3）將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法求解.

(1)f′(x)=3x²-6,令f′(x)=0,解得x₁=-,x₂=.因?yàn)楫?dāng)x＞或x＜-時，f′(x)＞0;

當(dāng)-＜x＜時，f′(x)＜0.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞,-）和（,+∞）;單調(diào)減區(qū)間為（-，）.

當(dāng)x=-時，f(x)有極大值5+4，當(dāng)x=時，f(x)有極小值5-4.

(2)由（1）的分析知y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當(dāng)5-4＜a＜5+4時，直線y=a與y=f(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，即方程f(x)=a有三個不同的解.

(3)f(x)≥k(x-1),即（x-1）(x²+x-5)≥k(x-1).因?yàn)?I >x＞1,所以k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立.

令g(x)=x²+x-5,g(x)在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以g(x)＞g(1)=-3.

所以k的取值范圍是k≤-3.