Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R,令F（x）=f（x）+g（x）．

（Ⅰ）當(dāng)m=時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整數(shù)m的最小值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（0，1）；（Ⅱ）2.

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)大于零得到增區(qū)間；（2）關(guān)于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，即為恒成立，令，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，討論m的符號，由最大值小于等于0，通過分析即可得到m的最小值.

（1）當(dāng)m=時，．

由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的單增區(qū)間為（0，1）．

（2）令x+1．

所以=．

當(dāng)m≤0時，因?yàn)?/span>x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>G（1）=﹣,

所以關(guān)于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．

當(dāng)m＞0時，．

令G′（x）=0得x=，所以當(dāng)時，G′（x）＞0；當(dāng)時，G′（x）＜0．

因此函數(shù)G（x）在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．

故函數(shù)G（x）的最大值為．

令h（m）=，因?yàn)?/span>h（1）=，h（2）=．

又因?yàn)?/span>h（m）在m∈（0，+∞）上是減函數(shù)，所以當(dāng)m≥2時，h（m）＜0．

所以整數(shù)m的最小值為2．