Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點，O為AC的中點，AB=2．
（I）求證：BD₁∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：B₁O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱錐O-AB₁M的體積．

Answer 1

（I）證明：
連結BD，設BD與AC的交點為O，
∵AC，BD為正方形的對角線，故O為BD中點；
連結MO，
∵O，M分別為DB，DD₁的中點，
∴OM∥BD₁，…（2分）
∵OM?平面ACM，BD₁?平面ACM…（3分）
∴BD₁∥平面ACM．　　　　　　　　　　　  …（4分）
（II）∵AC⊥BD，DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁；且BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁B₁…（6分）
OB₁?平面BDD₁B₁，∴B₁O⊥AC，…（7分）
連結B₁M，在△B₁MO中，MO2=12+(

2

)2=3，B1O2=22+(

2

)2=6，B1M2=12+(2

2

)2=9，
∴B1M2=MO2+B1O2，
∴B₁O⊥OM…（10分）
又OM∩AC=O，∴B₁O⊥平面AMC；          …（11分）
法二：∵

MD

BO

=

DO

BB1

=

1

2

，∠ODM=∠B₁BO=90°，
∴△MDO∽△OBB₁，
∴∠MOD=∠OB₁B，∠MOD+∠B₁OB=90°，
∴B₁O⊥OM．
（Ⅲ）可證AO⊥平面OB₁M，則VO-AB1M=VA-OB1M=

1

3

×AO×S△OB1M=

1

3

×

2

×

1

2

×OB1×OM=

1

3

×

2

×

1

2

×

6

×

3

=1．