Question

已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，曲線(xiàn)的離心率為，點(diǎn)、為曲線(xiàn)上易于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（1）求曲線(xiàn)上方程；
（2）若為曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，求最大值；
（3）若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。

Answer 1

（1）方程為
（2）由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，不妨設(shè)P在左支上，設(shè)，由焦半徑得：
，所以
所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
的最大值是。
（3）設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)PQ和雙曲線(xiàn)方程得：
，所以得。
且，由題知，
所以，
，
代入的，
解得或（舍去），所以PQ方程為，
即得PQ過(guò)定點(diǎn)
（說(shuō)明：另解一，可以利用對(duì)稱(chēng)和當(dāng)PQ垂直情況猜過(guò)軸上點(diǎn)，然后證明；
另解二，設(shè)AP斜率，求出P，Q坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程判斷過(guò)定點(diǎn)，）

略