Question

是否存在常數(shù)a,b,c使等式1×(n²-1²)+2(n²-2²)+…+n(n²-n²)=an⁴+bn²+c對(duì)一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論.

Answer 1

證明：分別用n=1,2,3代入，解方程組

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上可知等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

左=1×［(k+1)²-1²］+2［(k+1)²-2²］+…+k［(k+1)²-k²］+(k+1)［(k+1)²-(k+1)²］

=1×(k²-1²)+2(k²-2²)+…+k(k²-k²)+1×(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)

=k⁴+(-)k²+(2k+1)·=(k+1)⁴-(k+1)².

由（1）（2）知等式對(duì)一切的n∈N ₊均成立.