Question

11．已知g（x）=（x-e）²（e＞0），f（x）=lnx+bx．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b=0時(shí)，記k（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，已知k（x）有三個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）b=0時(shí)，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到2xlnx-x+a=0有兩個(gè)不為a且不為1的相異實(shí)根，令φ（x）=2xlnx-x+a，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}+b$，…（1分）
所以，當(dāng)b≥0時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．…（3分）
當(dāng)b＜0時(shí)，令f'（x）=0，
∴$x=-\frac{1}$，$x∈（{0\;\;，\;\;-\frac{1}}）$時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在$（{0\;\;，\;\;-\frac{1}}）$單調(diào)遞增．
$x∈（{-\frac{1}\;\;，\;\;+∞}）$時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在$（{-\frac{1}\;\;，\;\;+∞}）$單調(diào)遞減．…（5分）
（2）當(dāng)b=0時(shí)，$h（x）=\frac{{{{（{x-a}）}^2}}}{lnx}$．
$h'（x）=\frac{{2（{x-a}）lnx-\frac{{{{（{x-a}）}^2}}}{x}}}{{{{（lnx）}^2}}}=\frac{{（{x-a}）（{2xlnx-x+a}）}}{{x{{（lnx）}^2}}}$．…（6分）
∵h(yuǎn)（x）有三個(gè)極值點(diǎn)，∴h'（x）=0有三個(gè)相異的實(shí)根．
所以2xlnx-x+a=0有兩個(gè)不為a且不為1的相異實(shí)根．…（7分）
令φ（x）=2xlnx-x+a，φ'（x）=1+2lnx，令φ'（x）=0，
∴$x=\frac{1}{{\sqrt{e}}}$，列表得：

x	$（{0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}}）$	$\frac{1}{{\sqrt{e}}}$	$（{\frac{1}{{\sqrt{e}}}，1}）$	（1，∞）
φ'（x）	-	0	+	+
φ（x）	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增	單調(diào)遞增

x→+∞時(shí)，φ（x）=x（2lnx-1）+a→+∞，x→0時(shí)，φ（x）→a＞0
大致圖象為：

若φ（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根，則$φ（{\frac{1}{{\sqrt{e}}}}）＜0$，
∴$0＜a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$，…（11分）
若φ（a）=0，則a=1，因?yàn)棣眨▁）=0的根不為a，所以a≠1．
若φ（1）=0，則a=1，因?yàn)棣眨▁）=0的根不為1，所以a≠1．
綜上$0＜a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$，且a≠1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．