Question

【題目】如圖所示，曲線(xiàn)由部分橢圓：和部分拋物線(xiàn)：連接而成，與的公共點(diǎn)為，，其中所在橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與，分別交于點(diǎn)，（，，，中任意兩點(diǎn)均不重合），若，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在拋物線(xiàn)方程中，令，求出，坐標(biāo)，再由離心率的公式和之間的關(guān)系，求出；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出橫軸上方的橢圓方程，由題意可知：過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)存在斜率且不能為零，故設(shè)直線(xiàn)方程為，代入橢圓、拋物線(xiàn)方程中，求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，由向量垂直條件，可得等式，求出的值，進(jìn)而求出直線(xiàn)的方程.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，即，因此，代入橢圓方程中，得，由以及 ，可得，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出橫軸上方的橢圓方程為：，由題意可知：過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)存在斜率且不能為零，故設(shè)直線(xiàn)方程為，代入橢圓得：，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，顯然，同理將代入拋物線(xiàn)方程中，得，故可求得的坐標(biāo)為：，

，，解得，符合，故直線(xiàn)的方程為：.