Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=，并且對于任意n∈N^*，且n＞1時(shí)，都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n，并證明T_n＜-．

Answer 1

解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，b₁==3，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=-==1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n+2．

（II）∵===（-），
∴T_n=+++…++
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]=[-（+）]
=[-]，
∵＞=，
∴-＜-，
∴T_n＜-．
分析：（I）、當(dāng)n=1時(shí)，先求出b₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，求得b _n+1與b_n的關(guān)系即可知道b_n為等差數(shù)列，然后便可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)（I）中求得的b_n的通項(xiàng)公式先求出數(shù)列{}的表達(dá)式，然后求出T_n的表達(dá)式，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明T_n＜-．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．