Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（2c-a）cosB=bcosA，且b=6．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)△ABC的兩條中線AE、CF相交于點D，求四邊形BEDF面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意和正弦定理以及三角函數(shù)公式可得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理和基本不等式可得ac≤36，由重心的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中（2c-a）cosB=bcosA，
∴由正弦定理可得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA，
∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），
∴2sinCcosB=sinC，約去sinC可得cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得36=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac，
∴ac≤36，當且僅當a=c=6時取等號，如圖D為△ABC重心，
∴四邊形BEDF面積S=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{12}$ac≤3$\sqrt{3}$，
∴四邊形BEDF面積的最大值為3$\sqrt{3}$，

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角函數(shù)公式和三角形的面積公式以及重心的性質(zhì)，屬中檔題．