Question

9．曲線C_1：$\frac{|x|}{4}$-$\frac{|y|}{2}$=1與曲線C₂：$\frac{|x|}{8}$+$\frac{|y|}{2}$=1所圍成圖形的面積為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，在同一坐標(biāo)系中畫出C₁、C₂所圍成的圖形，根據(jù)圖形的對(duì)稱性求出它的面積即可．

解答 解：對(duì)于曲線C_1：$\frac{|x|}{4}$-$\frac{|y|}{2}$=1，
當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，$\frac{x}{4}$-$\frac{y}{2}$=1，
當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)，$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，$\frac{x}{4}$-$\frac{y}{2}$=-1，
當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=-1；
對(duì)于曲線C₂：$\frac{|x|}{8}$+$\frac{|y|}{2}$=1，
當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{2}$=1，
當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)，$\frac{x}{8}$-$\frac{y}{2}$=1，
當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{2}$=-1，
當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，$\frac{x}{8}$-$\frac{y}{2}$=-1；
在同一坐標(biāo)系中畫出這8條線段，它們所圍成的圖形是四邊形ABCD和四邊形EFGH，
如圖所示；

由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=1}\\{\frac{x}{8}+\frac{y}{2}=1}\end{array}\right.$，得點(diǎn)A（$\frac{16}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
∴△ABC的面積為：S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•y_A=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$；
∴四邊形ABCD的面積為：S_{四邊形ABCD}=2S_△ABD=2S_△ABD=2×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$；
由C₁、C₂所圍成的圖形的面積為：
S=S_{四邊形ABCD}+S_{四邊形EFGH}=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論的應(yīng)用問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．