Question

設(shè)函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定義域?yàn)镽，最小正周期為π，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有成立．
（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）作出函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的大致圖象；
（3）若兩相異實(shí)數(shù)x₁、x₂∈（0，π），且滿足f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）的值．

Answer 1

解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx= sin（ωx+φ）（ω＞0），
又f（x）≤f（ ）=4恒成立，
∴ =4，即a²+b²=16．…①
∵f（x）的最小正周期為π， ∴ω= =2，
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）_max=f（ ）=4， ∴asin +bcos =4，即a+ b=8．…②
由①、②解得a=2，b=2 ．
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2 cos2x=4sin（2x+ ）．
∵0＜x＜π，
∴ ＜2x+ ＜ ，
列表如下：

∴函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

 
（3）∵f（x₁）=f（x₂），由（2）知，當(dāng)0＜x₁＜x₂＜ 時(shí)，x₁+x₂=2× = ，
∴f（x₁+x₂）=f（ ）=4 =2 ；
當(dāng) ＜x₁＜x₂＜π時(shí)，x₁+x₂=2× = ，
∴f（x₁+x₂）=f（ ）=4sin =2 ；
綜上，f（x₁+x₂）=2 ．