Question

在△ABC中，∠BAC=

π

3

，

|AB|

=1，

|AC|

=2，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BC的三等分點(diǎn)，則

AE

•

AF

 

．

Answer 1

分析：先判定三角形形狀，然后建立直角坐標(biāo)系，分別求出向量

AE

、

AF

的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求出答案．

解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=

π

3

，

|AB|

=1，

|AC|

=2，
由余弦定理可知BC=

12+22-2×1×2× 1 2

=

3

∵三邊滿足勾股定理，∴∠CBA=90°
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC方向?yàn)閤，y軸正方向建立坐標(biāo)系，
可得B（0，0），A（1，0），C（0，

3

）
又∵E，F(xiàn)分別是Rt△ABC中BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
則E（0，

3

3

），F(xiàn)（0，

2 3

3

），
則

AE

=（-1，

3

3

），

AF

=（-1，

2 3

3

）
∴

AE

•

AF

=1+

2

3

=

5

3

，
故答案為：

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，將向量數(shù)量積的運(yùn)算坐標(biāo)化是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．