Question

已知函數(shù)
（1）若方程內(nèi)有兩個不等的實根，求實數(shù)m的取值范圍；（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（2）如果函數(shù)的圖象與x軸交于兩點、且.求證：（其中正常數(shù)）.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）方程內(nèi)有兩個不等的實根，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與 有兩個不同的交點，可以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在 上的單調(diào)性與極值并結(jié)合邊界值來確定實數(shù)m的取值范圍；
（2）由函數(shù)的圖象與x軸交于兩點、知方程 
有兩根    
因為 ,
所以   
 
 
只需證明：在上恒成立即可.
試題解析：（1）由，
求導(dǎo)數(shù)得到：
，故在有唯一的極值點
，且知
故上有兩個不等實根需滿足：

故所求m的取值范圍為.                             （6分）
（2）又有兩個實根
則
兩式相減得到：
于是


，故
要證：，只需證：
只需證：
令，則
只需證明：在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數(shù)，則
從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.         （14分）
考點：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想.