Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，（e是自然常數(shù)，e≈2.718），若函數(shù)F（x）=f[f（x）]+b有且僅有1個零點，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-e）
• B． （-e，-1）
• C． （1，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 先判斷f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）∈[1，+∞），在（-∞，0）上是減函數(shù)，且f（x）∈（0，+∞）；從而由零點與根的關(guān)系，化為方程的解，從而分類討論解得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）∈[1，+∞），
f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，且f（x）∈（0，+∞）；
令F（x）=f[f（x）]+b=0得，
f[f（x）]=-b，
①當0＜-b＜1，即-1＜b＜0時，
-2f（x）=-b，故f（x）=$\frac{2}$（無解）；
②當-b≥1，即b≤-1時，
e^f（x）=-b，或-2f（x）=-b，
故f（x）=ln（-b）或f（x）=$\frac{2}$（無解）；
故e^x=ln（-b）或-2x=ln（-b），
①當ln（-b）≥1，即b≤-e時，e^x=ln（-b）有解，
當ln（-b）＜1，即-e＜b＜-1時，e^x=ln（-b）無解；
②ln（-b）＞0，即b＜-1時，-2x=ln（-b）有解；
結(jié)合①②可知，
當-e＜b＜-1時，函數(shù)F（x）=f[f（x）]+b有且僅有1個零點，
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．